Logic for Mathematicians

Logic for Mathematicians 是这学期我提前修的数理逻辑的教材(因为网上买不到,所以我自己很无耻地复印了一本,结果影印的版本少了 Skolem 形式的一章,最后问 Henry 借了本,在此表示感谢),学校老师上课的时候只是讲了这本书的前面一部分,这几天抽空把后面一部分也看完了。对逻辑有一定兴趣的同学可以接着看下文,就当是我不自量力给大家做非专业的导读。

这本书的逻辑主线清晰,适合初学逻辑的同学阅读,整本书前四章从一般人直觉上的逻辑(Informal Logic)到形式逻辑(Formal Logic)阐述了命题逻辑系统和一阶逻辑系统的完备性定理(这些完备性的证明是哥德尔首先完成的),也就是说人为给出的形式逻辑系统在本质上与人类直觉上的逻辑是一致的,它们的区别在于,形式逻辑中就不需要逻辑直觉去支撑证明和推理,只需要通过固定的规则演算就可以了,这自然而然让人觉得所有的逻辑推理都变成了一定规则下的演算,从而机械证明的宏伟蓝图已经展开。前四章是较为基础性的,可能会有些枯燥,但是数理逻辑远不仅仅是这些,它包含了一些关于数学哲学的思辨。

有了良好的基础,便可以开始后半部分的精品之旅了。

第五章是数学逻辑系统,简单阐述了群的逻辑系统的表述,自然数的逻辑系统的表述,以及集合论的逻辑系统的表述,特别是集合论那部分,我们可以看到连续统假设,选择公理和 ZF 是互相独立的,这不禁能让数学家的毛骨悚然,我们所研究的数学的根基究竟是在哪里,且不说其是否稳固(数学系统的一致性不可能从内部被证明),即使它是稳固的,那我们研究的数学到底是哪个逻辑系统下的呢?如果 ZF 是数学家所公认的,那对于选择公理和连续统假设这两个超验的(transcendental)东西,数学家就可以分为好几派,排列组合一下就有 4 类,开个玩笑,如果哪一天我证明了一个公理,它是独立于之前的公理系统的,那又排列组合一下,数学家分为 8 类,如此往复,子子孙孙无穷匮也。那数学家的价值观究竟应该建立在什么之上,这种数学的不确定性的丧失对于建设在数学大厦之上的现代社会的影响会是什么?看完这章,大家可以有自己的思考。

第六章,哥德尔不完备性定理,向你展示了人类的无知,你可以这么看,当你认为一个体系有一定的一致性的时候,其内部不能被证明的定理可能就越多,注意,不可证的定理就是正确的命题,但不能给出证明。这看起来很荒谬,但在集合论的描述下下,假定自然数系统是一致的,那包含自然数的系统(比如现在的数论,数学分析等)必定包含一个命题,它是正确的,但不能被证明。如今物理学不断发展,理论越来越有内在的一致性,似乎什么都是可以计算出来的,并且没有矛盾,但根据哥德尔不完备性定理,这也很可能意味着当人们面对一个正确的命题,但是不能给出证明,于是就不知道其是否正确,按照以往的经验,物理学家会将其列为新的公理,可是通过哥德尔不完备性定理又知道,这个系统还是不完备的,于是物理学家就会循环往复地做这样一件事情,相当恐怖。按照胡一的说法,下次物理学革命性突破的理论可能不是来自那么高深的数学,而是来自数理逻辑,所以想在物理学做出贡献的同学,不妨读读这本书,就算没有收获,也比时间简史来得有点意义,况且不懂也是一种收获,所以总会有收获的。

第七章,可计算性(Computability),不可解决性(Unsolvability)和不可决定性(Undecidability),向你展示了机械(特指图灵机,也就是现代计算机)比人类更无知,在全书的最后,作者安慰性地写道,“计算机可能最终会控制世界的运转,但他们永远不能取代数学家”,这句话与第五、六章放在一起看,着实让人觉得别扭,可能也是作者作为一个数学家对自己的一种精神上的鼓励吧!

新家

今天下午前往新家过春节,那里没有网络,所以提前祝大家新春快乐,等我拍好照片回来和大家分享我新家的情报。

附:据说后天十七点上海可以观察到日偏食,而且还是很漂亮的带食日落,只希望不是上次在北京看到的未食便落就好,也希望能拍到漂亮的照片。

昨日初中聚会

由于种种原因,昨日早晨的初中聚会我没能赶到,下午赶到时人员已所剩无几,胡一向我阐述了宋老师的最新指示,由于陈涵从复旦社会学系转到了数学系,所以他暂时是大一,介于这样一个让宋老师迷惑的现象,他误以为我们都是大一的新生,于是语重心长地对大家说:“大一的时候不能谈恋爱,大二才能谈。”这个重要指示激励了在场的每一个人,成了各位同学大学生活的一盏明灯。据报道称,昨日,鸭子试图向宋证明 Adam 在大学交了女朋友,通过手机上网调出其有女友的证据,证据就是校内网上的头像,可是宋老师见多识广,否认说:“旁边的人一定是路过的,不巧被拍到的,你们不能这样欺负他的。”据说宋还问其他同学我在大学得过什么奖项。

少部分人参加了晚上的饭局,期中大部分时间都是听胡讲单口相声,自从上一次开始,胡的相声就是聚会的保留节目,其内容大多涉及大家感兴趣的话题,比如去年的顾理玲,今年,他又绘声绘色地向我们描述了在座大多数同学感兴趣的擎老板,从理论和实践等多个角度并从六方面阐述了擎老板的思想,但据他说这只是其思想的百分之二,并要求我们以其思想的百分之一作为目标进行学习。我录了其中一小个片段,有兴趣听重播的同学可以通过邮件向我索取,作为春节联欢晚会的有效替代品。

标准化考试下的标准化教育

怀着对 GRE 考试的恐惧,前去给新东方送钱。标准化考试下的教育很难避免被标准化,例子如下:我新东方 GRE 填空老师讲的笑话是老罗语录的真子集,这种没有原创性的模仿一定程度上会让人质疑这个老师在其“学术”上的内容是否也存在模仿之嫌,那一个老师是否能做新东方老师岂不是变成了一种累死于标准化考试的东西?只要这个老师能够掌握一个类似之前较为成功的老师的讲课内容和讲话风格,那就能通过老俞这关。不过话说回来,考试培训机构就是考试培训机构,要说学术云云,那也就是坐在里面的一群学生吧!

关于上海的那个号码

很久没有用那个号码的原因是那个号码欠费了,我不敢面对那个号码里面负值的余额,传说一个号码报废之前可以做很多捡便宜的事情,但我是一个怕麻烦的人,所以那个号码大家可以遗忘了,如果大家想念那个号码可以随时给那个号码打电话,聆听中国电信的阿姨亲切的向你报道我停机的噩耗。开个玩笑,不过最近突然发现自己被北京这个城市同化得很厉害,我自己都觉得愧对我的上海户口了,昨天在地铁,烦人的 English First Education 让我填一个我几年前逛街的时候填过的表格,我那时候赶时间,于是和那人说这表格我几年前填过了,那人说没关系可以再填一个,我想我春节后回北京,他们也没法联系我,对他们扩大客户没有帮助,为了表达这个想法,我情不自禁地说:“不好意思,我不是上海本地人。”说完确实奏效,但是我自己就反思,真是愧对了养育我的这片土地。

今天乘 145 下午回家,走到安图路的时候,看到路边有一只猪在散步,可惜我手机没有电了,没有拍下来,随后这只猪在地上一边流口水一边小便,随后有个人来把它带走了。难道上海现在允许养猪了?顺变提一句,我到上海了,每天上午读新东方到下午二点,有意约我者联系我,号码是北京的。

抽象代数

今天考了抽象代数,前几天终于知道为什么抽代的期中考试放在 12 月份,原因是宗老师去奥地利领奖了,人逢喜事精神爽,宗老师期中考试出题非常简单,期末考试仍然非常简单,甚至出现了和期中考试相同的题目,悲剧是我期中考试的时候那道题目做错了,但是我一直没有发现,也没和别人交流,于是期末又做错了,真实一个双重打击啊!

2009 年的愿望

前天早晨普通物理课,老师宣布了这次物理竞赛的成绩,我很荣幸地获得了一等奖(当然,我基本属于低空飞过),撒花庆祝!

新年到了,有几个想在今年实现的愿望,都是小愿望,以便在年末盘点的时候能回头检查。

  • 设计一件受到学院同学欢迎的 T-Shirt 以及一款纸牌游戏
  • 安安静静学习,一切与学习无关的琐碎情只为实现第一条愿望
  • 背完 GRE 单词
  • 读完新约圣经

只要凭借信心,都是很简单能做到的,让我们一起见证!