Logic for Mathematicians

Logic for Mathematicians 是这学期我提前修的数理逻辑的教材(因为网上买不到,所以我自己很无耻地复印了一本,结果影印的版本少了 Skolem 形式的一章,最后问 Henry 借了本,在此表示感谢),学校老师上课的时候只是讲了这本书的前面一部分,这几天抽空把后面一部分也看完了。对逻辑有一定兴趣的同学可以接着看下文,就当是我不自量力给大家做非专业的导读。

这本书的逻辑主线清晰,适合初学逻辑的同学阅读,整本书前四章从一般人直觉上的逻辑(Informal Logic)到形式逻辑(Formal Logic)阐述了命题逻辑系统和一阶逻辑系统的完备性定理(这些完备性的证明是哥德尔首先完成的),也就是说人为给出的形式逻辑系统在本质上与人类直觉上的逻辑是一致的,它们的区别在于,形式逻辑中就不需要逻辑直觉去支撑证明和推理,只需要通过固定的规则演算就可以了,这自然而然让人觉得所有的逻辑推理都变成了一定规则下的演算,从而机械证明的宏伟蓝图已经展开。前四章是较为基础性的,可能会有些枯燥,但是数理逻辑远不仅仅是这些,它包含了一些关于数学哲学的思辨。

有了良好的基础,便可以开始后半部分的精品之旅了。

第五章是数学逻辑系统,简单阐述了群的逻辑系统的表述,自然数的逻辑系统的表述,以及集合论的逻辑系统的表述,特别是集合论那部分,我们可以看到连续统假设,选择公理和 ZF 是互相独立的,这不禁能让数学家的毛骨悚然,我们所研究的数学的根基究竟是在哪里,且不说其是否稳固(数学系统的一致性不可能从内部被证明),即使它是稳固的,那我们研究的数学到底是哪个逻辑系统下的呢?如果 ZF 是数学家所公认的,那对于选择公理和连续统假设这两个超验的(transcendental)东西,数学家就可以分为好几派,排列组合一下就有 4 类,开个玩笑,如果哪一天我证明了一个公理,它是独立于之前的公理系统的,那又排列组合一下,数学家分为 8 类,如此往复,子子孙孙无穷匮也。那数学家的价值观究竟应该建立在什么之上,这种数学的不确定性的丧失对于建设在数学大厦之上的现代社会的影响会是什么?看完这章,大家可以有自己的思考。

第六章,哥德尔不完备性定理,向你展示了人类的无知,你可以这么看,当你认为一个体系有一定的一致性的时候,其内部不能被证明的定理可能就越多,注意,不可证的定理就是正确的命题,但不能给出证明。这看起来很荒谬,但在集合论的描述下下,假定自然数系统是一致的,那包含自然数的系统(比如现在的数论,数学分析等)必定包含一个命题,它是正确的,但不能被证明。如今物理学不断发展,理论越来越有内在的一致性,似乎什么都是可以计算出来的,并且没有矛盾,但根据哥德尔不完备性定理,这也很可能意味着当人们面对一个正确的命题,但是不能给出证明,于是就不知道其是否正确,按照以往的经验,物理学家会将其列为新的公理,可是通过哥德尔不完备性定理又知道,这个系统还是不完备的,于是物理学家就会循环往复地做这样一件事情,相当恐怖。按照胡一的说法,下次物理学革命性突破的理论可能不是来自那么高深的数学,而是来自数理逻辑,所以想在物理学做出贡献的同学,不妨读读这本书,就算没有收获,也比时间简史来得有点意义,况且不懂也是一种收获,所以总会有收获的。

第七章,可计算性(Computability),不可解决性(Unsolvability)和不可决定性(Undecidability),向你展示了机械(特指图灵机,也就是现代计算机)比人类更无知,在全书的最后,作者安慰性地写道,“计算机可能最终会控制世界的运转,但他们永远不能取代数学家”,这句话与第五、六章放在一起看,着实让人觉得别扭,可能也是作者作为一个数学家对自己的一种精神上的鼓励吧!

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