Categories
芳华

Eat Pray Love


Eat Pray Love

《美食、祈祷和恋爱》是原本想在周末的电影沙龙放映的电影。每次周末电影放映之前的选片过程我都会比较细致,当然也会略带私心,从自己想看的电影中挑选一部之后,然后预先看一遍。但昨晚 Ray 看到一半的时候不想看了,说是太文艺了。于是周末还是放映《初恋这件小事》,毕竟比起离婚,初恋可能更适合年轻人观看。

冬天是一个受伤的季节,已经不在 219 住有一段时间了。目前长居于 220,可能这里的人更有共同语言,能排解一些情绪。昨天 Ryan 也回来了,我睡了他的床位,他睡一个已经去法国孩子的床位,他睡得很早,也大致能猜到是什么原因了。情绪不好的时候什么都不想做,只想睡觉。当然,也可能是别的原因。总之是累了,心累了,或者身体累了。

这个寒假联系了一个十天竞赛辅导的工作,估计也能到手一万吧。一直在想怎么花这笔钱。曾经有过两个想法,一个是买台 Macbook Air,另一个是在出国前在上海办一个 Farewell Party。不过我没算过一万元能不能办成后面那件事情。

但电脑桌面上始终有一个文件夹叫做 Dream,是我存放自己梦想的地方,大多数都是将来要去哪里,和片中的 Liz 的装满 National Geography 的盒子很像。里面也有去 Bali 的攻略,整整 26 页,包括所有需要的讯息。

The Physics of Quest,当我看到电影中描述这个原则的时候,我想到了过去的自己,我不正是在每一个人生重要的时刻,从我的环境中寻找重要的启示吗?

想到这,是时候一个人去一个陌生的地方待一段时间了。当然,细节可能需要调整,至少不会住那些五星海景别墅了。

Categories
芳华

建筑学中的拓扑学

这篇文章是我2009年秋季学期现当代建筑赏析的期末论文。

摘要

在本文中,我将从拓扑学中最基本的多面体欧拉公式展开,从新考虑了建筑的语汇。从拓扑等价的观点,将各种建筑的构型分类,并指出在这种观点下,建筑师需要将更多的精力放在空间的拓扑对建筑使用者的感受等问题上。由于在这种观点下,建筑师需要能够随意地实行拓扑变换,这种变换的最大敌人是万有引力。然而通过技术,可以挑战这个限制,使得建筑给人奇迹性。基于这样的观点,我猜测董老师上课所述的拓扑对称的含义,并给出适当的解释。全文的最后,我提供了两个关于拓扑和建筑相关联的具体例子,表明了在现当代建筑设计中,一些特殊空间的拓扑性质确实对建筑的设计产生了影响。

关键词:拓扑,拓扑等价,万有引力,拓扑对称,莫比乌斯带,克莱因瓶屋

前言

作为一个数学专业的本科生,每当听到数学以外的学科引用拓扑两个字,我都会审慎地看待,因为拓扑,作为一个时髦的词汇[1],很容易被挪作他用。我个人的态度是,如果一个学科仅仅是借用了另一个学科的一个术语或者概念,但没有用到其核心思想或者相关的基本结果,这种术语的引进也仅仅是在构建一种学科壁垒,或者增加神秘感。倒不如在引进词汇的同时,给出在这个学科中内蕴的定义和阐释。

董老师上课的时候,曾提到过一次拓扑对称,我自然而然审慎起来,究竟建筑学中的拓扑是什么?以下只是我在课程的学习中得到的一些观察以及其对我的一些启示,都是关于建筑与拓扑。

回顾拓扑学研究的对象,在数学中称之为工作范畴:拓扑学的研究对象是拓扑空间和他们之间的连续映射。用不严格的语言说,就是研究连续变化下空间的性质(那些不变的性质称为拓扑不变量)。

从柏拉图形体谈起

建筑中确实有一些例子与拓扑学有关,例如在前几节课程中提到的柏拉图形体(也就是三维空间中的正多面体,如图 1 所示),一个自然的问题,为什么柏拉图形体只有五种,即正四面体,正方体,正八面体,正十二面体,正二十面体。事实上,这个问题恰是拓扑学。它涉及到拓扑学中的欧拉[2]定理:三维空间中的凸多面体,其面数加顶点数减去棱数等于二。正是这个方程导致了柏拉图形体在总数上是有限的。

图 1: 五种柏拉图形体柏拉图形体

拓扑等价观点下的结构

从拓扑的观点看,可以考察更一般的建筑设计理论,例如在考虑的几何图解的深层结构的时候,我们完全可以忽略刚性带来的性质,取而代之的是在连续形变等价下的深层结构,让我们看几个简单的例子,如图 2 所示:

图2: 两组拓扑等价的剖面

从拓扑的观点看,两组图中的图解都是等价的。这样做的好处在于使得建筑语言中的基本元素个数更加精简,而产生的语句则更加丰富。

但是在论及深层解构的有限性的时候,我们发现即便是在精简了基本建筑语言的元素之后,其可能性还是无穷的,这种无穷性带给拓扑深层结构以复杂性,毕竟对于有限的事物,人类往往能够将其完全掌握其实质而变得简单。

拓扑性质与功能主义

其实这种看法在生活中是很常见的,例如我们买房子的时候,总会先考虑要买几室几厅的房子,再考虑面积,最后考虑具体的地段,环境,物业,价钱等因素。我们注意到“几室几厅”是一个拓扑不变量,房子任意的形变,室和厅的个数都不会发生变化。再例如,我们考虑空间的连通性的时候,我们可能会要求厨房尽量紧挨着餐厅(有佣人烧饭的豪宅除外),这种伴随着功能的空间连通性常常也放在建筑设计的首要位置。这两个例子从某种程度上说明了拓扑上的限制常常是来源于人内心最基本的一种需求(常常是对功能的需求),但它又常常被认为是理所当然的从而消失在视野之外。

关于那些让人觉得是神迹的结构,于是变得不惊奇了,他们与过去的结构有什么不同?无外乎唤起了人们对建筑工艺技术的崇拜感,而这些结构对建筑学本身讨论的重点却无益。关于结构最富有实质意义应该是考察它的基本元素,例如,对于拓扑不同的元素,考察它对使用者产生不同的感受。

图 3: 古根海姆博物馆

赖特的古根海姆博物馆(见图 3)可以看成一个长廊盘旋而上,那它与长长的画廊有什么区别,所有关于画廊的特有性质,就是赖特的博物馆的特有性质,画廊让人有一个方向,而画廊中的画又能让人停止在这个固定方向的移动,古根海姆博物馆又何尝不是如此呢?它们在功能上确实是一样的!

波尔多住宅的神奇在于它通过一个升降平台将一楼和二楼连通起来,这种连通性质在不考虑重力的情况下是让人感到惊奇的,我们可以设想如下的两个场景(如图 4 所示):

图 4: 波尔多住宅

左边的图表示波尔多住宅的用户可以通过升降电梯从一楼过到二楼,但若是没有升降电梯,我们如何才能平缓地到达二楼呢?如果不考虑重力的话,右边的建筑是可以实现的,但绝不是地球上的建筑。

挑战万有引力

可以认为拓扑学中的限制是某种程度上最基本的限制,例如保定向刚体变换(即在空间中的平移和旋转)可以认为是连续形变的一种,而伸缩变化就不是三维空间中的刚体形变(伸缩变化会改变距离),镜面对称虽然是刚体变换,但是它不是保定向的,但是这两者都是连续的拓扑变换,由此可见拓扑上的限制在某种程度上是最基本的限制。

早期的建筑由于受到工艺的约束,从而其建筑的基本语汇也受到了约束,当然建筑语汇发生过几次进化,从过去的拱券,穹窿到后来的平顶,大出挑的屋顶,现代建筑更是有其被人视为结构奇迹的语汇。然而,平顶和穹窿又有什么区别,只不过是弯曲程度的不同,他们是相同的基本元素,只是技术的限制导致了穹窿更容易实现。屋顶出挑的多少在拓扑上也没有区别,反倒是否出挑就有了区别。

当然这种拓扑元素的自由表达在一定程度还是受到限制的,就像之前提到的欧拉公式那样的限制。这种限制可能来自于建筑所处环境的限制,来自建筑使用者的限制,来自技术的限制和资本的限制,最重要的限制,我认为应当是地心引力的限制。

地心引力的限制使得我们有时候无法进行拓扑上的任意形变,例如在 MVRDV 设计的这栋公寓中,我们就不能认为它的剖面和左右等分的剖面是一致的(如图 5 所示)。

图5: 孪生公寓与它拓扑等价的房屋

可见在水平方向拓扑变换更加容易实施,而在竖直方向上,即万有引力的作用方向上,拓扑变换就不能随意实行,这就是为什么对竖直方向结构的特殊设计会让人更加感到惊奇的原因的一方面。

现代技术已经拥有各种能力去挑战万有引力了,但一味地为了挑战而建筑,一味地为了奇迹而建筑,一味地为了出彩而建筑,似乎又偏离了正轨。不如我们只是将精力放在基本空间分割特征等更抽象的问题上来讨论建筑空间的本质,这样思考也帮助建筑师能够更专注在关键的问题上。

当然,我们也可以将这些限制看作自由表达的目标,从而最重要的限制便成了最基本的目标。考虑拓扑上的不同的空间划分对建筑的影响,这种讨论超越技术的限制,从而更能适用不同时期的建筑理论,甚至,在技术足够发达的未来,我们能够随意地讨论在外太空人类的住所在无重力情况下的建筑理论。

拓扑对称[3]

如果说,建筑的有维度,我会将拓扑结构,材质表现,实用功能等纳入这些维度中。

当我们要体现其中一个维度的时候,我们会主要放大这个维度,并同时减小其他维度,至少我们可以在每一个局部都这么操作。比如在此处着重表现建筑的材质,在彼处则强调其功能。

现代寻找出彩的方式大都如此,因为很少人能驻足欣赏,为了能留住眼球,只能“博彩出众”。

图 6: 楼梯的两种不同对称

如图 6 所示,谁会注意到一个有左右对称楼梯的房屋呢?为了突出其拓扑的对称性,我们可以将这个对成变为中心对称,使得其功能的维度降低,这样不但挂在空中的楼梯被注意到了,人们还能注意到地上的楼梯,以及它们之间的对称性。这种对称性在突出拓扑结构的同时,还挑战了约束拓扑变化的地心引力,其奇迹性也是不言而喻的。

模度

在考虑完建筑的拓扑性质之后,随之而来的就是建筑中具体模度的确定。

在不考虑模度的时候,建筑甚至可以是一个模型,是随意丢弃的一团纸。建筑模型与建筑的差别只是一个等比例的缩放,在拓扑的观点下,他们是等价的,没有差别,但模型毕竟不是建筑本事,而是未建成的建筑。

决定了拓扑结构之后,建筑师只是有了一个模糊的建筑概念,具体化建筑模度仍然是实现建筑的重要步骤。这个步骤使得建筑能够适应使用者的尺度,从而在建筑的维度中加入了人的因素。

从莫比乌斯带到克莱因瓶屋

最后谈谈其他方面拓扑与建筑的联系,会涉及到具体的例子。

当一个研习数学的人和普通人谈论拓扑空间的时候,我相信大多数人都会提到莫比乌斯带(如图 7 所示),它虽然是一个二维的带边曲面,但是它只有一个面,倘若有一只蚂蚁在上面爬行,它会爬遍整个曲面的各个角落,这样特殊的拓扑构型被用在了家具设计上,也有大桥或走道(如图 8 所示)借用了这样的造型。

图 7: 莫比乌斯带
图 8: 莫比乌斯造型的空中走道

当然,这样的造型在三维空间中大部分是没有实用意义的,对于走道,由于地心引力的缘故,人不可能从一个面走道另外一个面,又是地心引力!

记得上课的时候董老师讲了一个例子,说一个人要造一个房子里面就是外面,外面就是里面。这和之前莫比乌斯带的感觉很类似,在拓扑学中确实有这样的例子,一个没有边界的曲面(之前的莫比乌斯带是有边界的,而且只有一条边界,注意没有边界不是无限的意思),而且只有一个面,它就是克莱因瓶(如图 9 所示)。

图 9: 克莱因瓶(三维空间中会自交)

有趣的,确实有一个建筑自称克莱因瓶屋,如图 10 所示。

图 10: 克莱因瓶屋

通过这个建筑的图纸,我并没有发现他和克莱因瓶的关系,但从杂志上的一张室内照片(如图 11 所示)我们可以看出它确实连通了室内和室外,而且还将室外包在了室内。其实这个时候,在这个建筑物中的人已经很难区分室内和室外的区别了。在这张照片的下方写着如下注释:

The building (we think) is also within that tradition of the use of an experimental geometry that could be adapted to more suitably meet contemporary needs and desires. In that sense it is within the heroic tradition of invigorating the very nature of the home, most notable of this tradition would be the great experimental heroic houses by Melbourne architects in the 50’s (McIntyre and Boyd in particular).

The house revolves around a central courtyard, a grand regal stair connecting all the levels. There is a sense of both being near and far to all occupants.

Its endless, curing shell-like quality particularly in the tee tree brings about a comforting togetherness.

图 11: 克莱因瓶屋内部

很明显,这种空间结构的实验给使用者以不同的感觉。室内和室外能有机融合在一起的概念是建筑师全新的设计,这灵感正来自于对克莱因瓶的认识。
以上两个都是关于一些特殊的拓扑结构给建筑造型的启示,之所以是这样本质不同的建筑造型才能带给建筑语言以丰富多彩的表达。

后记

由于没有找到文献系统阐述建筑与拓扑的关系,以上拙见仅仅是基于我现有的知识与这学期老师讲述的课程内容(并且我很可能只正确理解了其中极小一部分),很多地方使用的证据和术语的运用可能并不确切,望老师多多包涵。

注 1 在近代大量的学科都开始使用它,而在数学的历史中,拓扑学已经有 300 年左右的历史。

注 2 欧拉,18世纪最优秀的数学家,也是历史上最伟大的数学家之一,被称为“分析的化身”。

注 3 以下只是我的猜测,并没有文献支持这样的观点。

Categories
芳华

密苏里猴

之前和朋友一直提到一个美国心理学 PhD 在豆瓣上和我认识之后,自愿给我修改申请文书的事情。

昨天和这位素未谋面的心理学 PhD 在港丽吃了一顿饭,然后聊了四个多小时的天。当然,和所有聊天一样,基本都是我的听,对面在说,就像 Staren 每次来北京跟我聊天的感觉一样。当然,在北大朋友圈子里面,我讲话还是挺放得开的,比如前几天在康西进行的情感小论坛。

心理学 PhD 是一个环保主义和极简主义者,其实和我前女友相处的过程中,我已经非常自信的认为自己是一个不铺张浪费的人了,并且因为节约发生了很多碰撞。但吃了那顿饭,我才开始意识到“还不够”。比如吃芝士是很浪费的一件事情:

每一斤奶酪是通过十二斤牛奶制成的,牛奶本身也是很浪费的事情,为了不断的产奶,母牛需要不断的怀孕,刚生育的小牛会被杀掉。

这些事情从前没有思考过,总以为母牛天生就能不断产奶,再一想来还挺荒谬的,都是哺乳动物,和人一样。

总之聊天的过程是愉快的,最后十几分钟,由于长期集中精力,不免有些犯困,还好时间也差不多了,走到中关村大街就各自回家了。

玩豆瓣的朋友可以加一下 MissouriMonkey。当然如果纯粹是希望找人改 PS 的朋友,可以考虑一下当事人的心情。一个美国心理学 PhD 回国后无意间认识了一个北大毛孩子,并且帮忙修改了他的个人陈述,结果这毛孩子向大家推荐这个倒霉蛋,结果被当作了专业文书修改机构。

刚才上 Google Analytics 发现今天的博客访问量有 120 多次,整个博客,包括旧域名的访问量加在一起也就 500 多次。原来密苏里猴在自己的豆瓣上写了标题为《推荐一个北大数学系牛人小同学的博客》的日志,并且在日志中称

里面很多关于数学和其它事物的有趣的想法和观感。

我感到很惭愧,这种文章我高中的时候时不时会写一些,但成立独立博客之后,由于某些神奇的原因,博客成了一种政治工具,我也傻傻地写一些甜腻腻的东西,所以很容易解释,虽然访问量增大了,但跳出率为 70% 以上。

但我想,我会在这方面做一些努力,毕竟关于数学我还是可以说一些有趣的东西的,而且也愿意说。

Categories
芳华

Long Long Ago

很久很久以前,苹果树扁了牛顿……

一二九预演那天被学生会的小朋友喊去放视频,去了才知道,只是让我带个备份过去,伤心了。

不过去看一二九确实能让人感觉年轻一些,在讲堂的舞台上还碰到了凌云和零八小美眉的男朋友。不知是不是都是去返老还童的。

正当我聚精会神在侧面舞台看那个三角钢琴的时候,听到背后有声响。小回头一看,原来一个演员的白色头套掉在地上了。再回头,不对了,两个人打起来了。其中一个是带白头套的男演员,另一个是脖子上插树枝的高大个儿。旁边工作人员相当不给力地劝架:“别把麦克打坏了!”

我想这肯定不是数院的同学,数院的同学怎么可能这么暴躁冲动呢?数院的小朋友肯定是很乖很懂事的嘛!

结果过了一会这两个人上台演出了,一个演牛顿,一个演苹果树。于是就回到了故事的开头。

刚看了当天一二九视频,正式演出的时候,苹果树一不小心把苹果丢到了台下。

于是故事又有了续集。很久很久以前,牛顿眼睁睁看着苹果树把苹果扔了……

Categories
芳华

当我谈建模的时候,我谈些什么?

前言

应许白婧同学的邀请,给《心桥》的读者写一些关于建模竞赛的。过了感触最深的时候,需要调动很多的思绪才能成文,着实费劲。

第零章 关于标题

村上春树的《当我谈跑步时,我谈些什么》我只看了几页就在书店放下了。书名的形式借来用一下。村长的《当》记录了他在不同时间地点跑步时的思考,或者说他用思考来奔跑。学习村长。

第一章 2008 年 9 月 20 日本科生机房

学到的知识能用上是最令人感到满足的事情了

第一次参加全国大学生数学建模竞赛,当时已经大二了。题目关于照相机定位,给定一个特殊的标靶的照片,反解相机的位置。做这个问题的时候,我们用到了大一时候学到的射影几何的知识。虽说之前的江泽涵建模竞赛中也运用过一些数学知识,但那都是临时看书学来的。真正把自己学过的,并且觉得很优美的理论用出来的这是头一回。随后,我们还自己做了实验,打印了一个标靶,以此检验我们算法的寻找标靶中心的准确程度。这是此次建模的另一个亮点,操作感。虽然最后只得了北京赛区二等奖,但我可以给自己颁个奖,叫做最满意参赛奖。
成绩公布后,我看过程修远学姐的全国一等奖的论文,我发现她们的论文“包装”得非常好。通篇都是用数学的语言写成的,记号清晰。还用了一些比较高级的术语,比如“泛函”之类的。虽然我觉得这些都不是本质的东西,可能很多人看懂了会发出“不就是这个嘛!干嘛说得这么高深!”的感叹,但或许就是这些因素让全国建模竞赛的评委们眼前一亮呢!

第二章 2009 年 4 月 29 日未名湖畔

不妨尝试一个人建模的自在

经历了之前几次建模竞赛,我越发觉得多人建模的一些弊端,例如,决策困难(特别是在组员想法很多的情况下),论文风格不统一(经常出现前后两部分文风不同,记号不同就属于更严重的问题了)。团队要克服这些问题是可以的,但组员之间必须在赛前有很好的沟通。由于我从来没有固定的队友(事实上,每一次建模都和不同人组队),所幸这次就尝试一个人建模。事实证明,一个人建模是非常高效的。

当时江泽涵建模竞赛的题目非常欢乐,关于三国杀,题目自拟。早在 08 年 10 月的时候,有上海的同学来北京看我,我基本可以算是三国杀的第一批玩家了。所以拿到这个题目的时候,我就更加坚定了一个人“杀”到底的决心。由于没有队友,作息我安排地非常好,早晨 8 点起床早饭后,来到本科生机房开始工作,每天带一瓶果汁去,中午 12 点中饭,饭后去未名湖畔散步,回机房工作到 5 点后,晚饭,再工作,9 点回寝室。一些上班族估计和我的时间表也差不多。

刚开始建模的时候,看了一个关于“杀人游戏”必胜策略的论文。论文倒是很有趣,但看完后发现和“三国杀”没有太大的联系。随后就转向研究游戏平衡性的研究,主要想法是进行随机模拟,但需要随机过程来“包装”一下。计算四人局的情况时用了马尔科夫链进行计算。但规模一大就不能再给出精确解了,转而使用蒙特卡洛算法。其实这个算法的核心就是“蒙”,给不出精确解的时候,往往就用这个“蒙氏”算法“蒙混过关”了。

一个人写论文的时候,记号比较清楚,文章也有整体感。我参与写作的别的数模论文我不能保证,但这一篇绝对能打上我的百分百质量认证标志。

最后的结果也算是情理之中,望着获奖名单上某一行孤单单的一个名字,我想我做到了。

第三章 2010 年 2 月 21 日研究生机房

与不同的合作者再次出发

这是第二次参加美国数学建模竞赛,这次如往常重新组了队,一个是我的室友常博,另一个是赵子慧。常博是信息系的,又懂统计,子慧是计算的,再加上我是基础的,差不多算是在数院各系取了一个代表元了。之所以和这么优秀的同学组队是为了冲击一下 Outstanding 奖。我们在赛前也做了充分的准备,和另外一个队伍一起开了几次讨论班,将历年的 Outstanding 的论文都仔细分析了一遍。很可惜的是,最后我们两个队伍都只获得了 Meritorious 奖。我想,一个问题可能是出在英语表达方面,另一个问题可能出在模型的创新程度上。

那次竞赛,我们级有一组队获得了 Finalist 奖,这个奖是那次竞赛新加出来的,大于 Meritorious,小于 Outstanding。这个队伍的三名队员都是比较熟悉的同学。据我了解他们的论文用了马尔科夫过程。看来应用随机过程是一个很给力的工具啊!

论文

  1. 2008 年全国大学生数学建模竞赛
  2. 2009 年江泽涵数学建模竞赛
  3. 2010 年美国数学建模竞赛