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井田问题

Matrix67 致敬,我也来写点科普文章。

假期给初一、初二小孩讲几何课的时候,都提到了下面的命题:四边形 ABCD中, E,F依次是边 BC上的两个三等分点, G,H依次是边 AD上两个三等分点,求证 S_{ABCD}=3S_{EFHG}

三分田地

这道题目立即让我联想起了张景中院士的一本科普书,上课的时候我记不得这本书的名字了,后来回去搜索了一下,叫《新概念几何》。我的爸妈一般不给我买书(可能是因为买过两套四大名著我都不看的关系吧),记忆中他们还给我买过的书只有《十万个为什么(小学版)》和《新概念几何》了。

在《新概念几何》中提到过一个问题,叫做井田问题:传说从前的农民要分地的话,没有很精准的丈量工具,也不懂几何或是微积分,所以都采取一些近似的方法。有一天,村里的九户人家发现了一块四边形的田地,他们打算平分这块田。于是他们通过脚步丈量四条边后,将四边都三等分后,如下图将田分为了九块。

井田问题

很明显,这块田地没有被九等分。但会不会像之前的“三分田地”问题一样,有类似的结论呢?很自然的一个猜测是最中间的土地面积是总面积的九分之一。其数学表述如下:四边形 ABCD中, E,F依次是边 BC上的两个三等分点, G,H依次是边 AD上两个三等分点, I,J依次是边 AB上的两个三等分点, K,L依次是边 DC上两个三等分点,求证 S_{ABCD}=9S_{MNOP}

由于整个问题犹如在一块田中写一个井字,井田问题由此得来。

记得当时上课的时候,由于是即兴想到这个问题,双核同时运转,只顾着把故事编得生动一些,没腾出脑子去想解答,所以留下这个问题让小朋友自己回家思考了……

实际上,建立在之前的三分田地的结论上,这个问题是很容易解决的:

由之前的结论,红色四边形 IJLK的面积是整个面积的三分之一。假设我们能再证明 M,P N,O分别是 IK, JL的三等分点,那再次利用三分田地的结论,我们就能证明红黑相交的部分 MPNO的面积是红色四边形 IJLK的三分之一,也就是原四边形的九分之一了。

最后我们证明 M,P N,O确实分别是 IK, JL的三等分点,为此我们只证明 M IK的三等分点。

为了能看得更清楚,我们考虑与需要证明的结论有关的部分。

辅助图

由定比分点公式,我们有关于面积的等式:

S_{GKE} = \frac{2}{3}S_{GDE}+\frac{1}{3}S_{GCE}=2\left(\frac{2}{3}S_{GAE}+\frac{1}{3}S_{GBE}\right)=2S_{GIE}.

于是 KM = 2IM,就证明了需要的结论。

通过类似的论证,读者还能将井田问题中的三等分替换为五等分、七等分甚至任意 2n+1等分。进行类似的面积划分后,最中间那块的面积便是 (2n+1)^2分之一了。

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芳华

太阳照常升起

伴随着太阳照常升起的电影原声,从宿舍望出去,天还没有亮。“嗯,因为签订了口头的契约,所以不能迟到。”我对自己默默说完之后,便进行每日仰卧起坐运动——一次。坐在床上发呆,等待身体和周围空气的温度相适应后,便下床,简单洗漱后,背上装有笔记本电脑和前一天晚上刚打印出来的一叠讲义的书包,跑到小西门买了煎饼果子(上海人叫蛋饼)附一个加大香肠,带进计程车,前往远在丰台的中学。车内弥漫着食物的香味,想必计程车司机应该对在车里享用早餐的乘客会很痛恨。一路上恰好能看到太阳升起,到达目的地时已经变成白天。

为生活而奔波,太阳照常升起。

很久以前,培训公司的老板和我说,自我介绍的时候最好隐瞒自己是大学本科在读。但我喜欢“虽然本科在读,但上课极牛”这样句型的评论,而不是只有后半句,所以每次开课前都会大言不惭地说自己北大本科在读,再开始牛逼哄哄地讲课。

一月二十六日,是我第一次给北京十二中的孩子讲课,硕大的教室,坐了近一百人,上午是初二的小孩,下午是初一的小孩。其实上课前我一直有一个疑问,现在各种竞赛的保送取消了,培训行业会不会就此一蹶不振,培训公司老板哈哈大笑,说不可能,家长见到别的孩子都读竞赛,自己的孩子不能落后,而且现在读些竞赛的内容,对将来的升学考试都是有好处的。于是,我甚至能看到退休的老爷爷老奶奶在培训机构为孙子孙女占座的画面。

就因为升学考试,就因为家长可预见的非理性(仅仅通过比较做出决策是一种非理性),我能在北京十二中的教室里面对这么多孩子,传道,受业,解惑。这听上去其实是一件很悲哀的事情,因为那些不适合走这条路,可能只是被我更进一步推向深渊。而且,虽然第一节下课的时候,负责这个班的老师说我上课很受学生欢迎,选题也非常适合,但我自己知道,我正在教他们的是我十年前的知识。而时代在变,风景在变,下课的时候,我可以看到一些孩子在玩 iPod Touch,但他们上课学习的内容还是没有改变。如果我是家长,我就让我的孩子去学做网站,去学写 Web App。

所以我会比较主意去放飞孩子们的想象力,即便在数学这个比较有限的空间中。可以发现,孩子的思想已经被课本上的知识束缚住。小学和中学的数学教育主要的目的是解题,有一个比较讽刺的词语叫“套路”,解题成了一种程式化的行为,不需要大脑思考,完全交给小脑托管的过程,于是一但需要大脑去思考,去跳跃边界,大部分的孩子就止步了。当然,这不是一时半会儿能改变的,但我会鼓励孩子说出自己的新鲜想法,并且引导,或者尽量不去用既有的语言叙述,而是用 Ockham’s Razor 提出细枝末节的琐碎,将本质全盘托出,用直观的语言,在每节课前,我会鼓励小孩自愿上讲台,为下面的小孩讲解一两道我预备的题目,上台前我会给予一定的指导,让孩子知道如何去表现自己的想法。感到欣慰的是,初一的一个小孩,居然上台之后,完全用我的风格在讲题——读题,给出直观的感受,给出可能的切入手法,排除不可行的,从结论反观,有条不紊地叙述最后的解题过程——将隐含在脑中进行的各条线索逐一表述出来。好的老师就应该不断复制自己,不是吗?

我想这么多,并如此行,只是想让自己觉得好受些,至少我是在竭尽全力不去做什么坏事。

一月三十日是我在北京十二中最后一次给小孩上补习班的日子。我带了一些卡片,写了些祝福的话语,发给一些小朋友。衷心希望他们能有一个更美好的未来。

附:补习班一共六天,上午三小时初二数学竞赛,下午三小时初一竞赛,按实际上课的时间计算,薪金应该是这几年来给的最多的了,大约每秒钟能有一角钱。所以连续工作六天,一个学期的基本开销就可以搞定了,而且可以过得比较舒服。从大学期间打零工的角度来说,从事培训行业还是挺理想的,如果你有想了解这方面的讯息,可以和我联系。

初二年级(聚精会神听课状)
初二年级(拗可爱造型状)
初一年级(聚精会神听课状)
初一年级(我混在里面哦~)
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芳华

学习诸老板

不知不觉到了“承东启西连南接北的区域性特大城市”——合肥,刚下火车就开始经受各种考验。
找不到位子的麦当劳,一米六的限高标志,上不去的公交车,打不到的出租车。

Caution! 一老板出没!

在合肥,有钱是没有用的,因为钱根本花不出去。就说这打车,打车在合肥不是能用钱解决的,它是一门艺术。我和一老板一路从火车站步行了两个小时,愣是没有遇到空车,原因在于合肥不可能有空车在路上跑,一辆出租车刚一下客,立马下一波人就接上了。我们一直不得要领,在硕大的合肥市中心瞎转悠,终于,我们发现了一个下客点。但每次要上车,都莫名其妙从路边杀出个程咬金,他们一路小跑等待将停未停的出租车,刚一下客,立马接上。作为刚来的外地人,我们束手无策。最后还是一老板小脑发达,截获一辆出租车。

路上,我们又遇到了堵车。我在专心发短信,没有留意,但还是听到一老板隐隐约约地提了一句“卞宸说合肥不堵车的”,以及司机师傅随后的一声“呵呵”。结果下午接到卞老板电话,说在路上堵住了,误了火车。

到达旅店,安放行李之后,前往中科大学擎。刚出门发现手机相机都忘带了,所以很多珍贵的画面就此无法得意保留。比如一老板在寝室楼底公告栏挥毫写下“学贾爷”,以及第一次见到贾爷的画面(当然是先感受到了气场)——贾爷在萝莉动漫的包围下缓缓穿上秋裤和袜子……随后见了一老板的女朋友,人称席老板。当然,在数学系的自习室里,不得不提的还是赵老板,面对前辈的提问,我总是觉得有些茫然,于是赵老板问得更加明确了,于是我就更答不上来了。比如,赵老板询问我情况,我就茫然了,什么情况?赵老板经过一番说明,意思是让我叙述申请的时候,我的个人情况。我问具体想知道什么,赵老板说全部。我差点哑然了。过了一会,赵老板又在网上人肉我,引来第二轮围观。

但我讨厌两件事:在我面前看我日志,以及在我面前人肉我。

学擎路漫漫,吾将上下而求索。起床后继续学擎。

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芳华

卡内基梅隆大学电话面试

昨天收到卡内基梅隆大学的电话面试邮件,说要和我约个时间,于是上 Time Zones 看他们家的时区是负五时区,于是减去十三个小时就得到了匹兹堡的时间。把可能有空的时间都发过去,虽然也列上了一些非人性化的时间,例如那边凌晨三点之类的,但还是觉得老老实实说自己有空的时间比较好。

结果那边的教授马上回信说,美国东部时间晚上 10 点给我打电话,也就是今天早晨十一点。之前各种朋友都献计献策,谢谢你们。今天早晨十点开始准备各种问题的回答。都打在电脑上面了。

美国人很守时,刚到十一点,家里的电话就响起来了。对方是用 Skype 打的,和以前接到 Skype 的情况差不多,有轻微的回音,听英语比较吃力,不过还好,对方说得比较慢。刚准备开始,第一个问题就出乎意料,居然问我住哪里?不过这样反而让我放松下来了,于是我说我住上海。第二个问题是在上海住得如何?我说上学在北京,每年回来两次看看父母什么的,所以在上海的时间并不多。第三个问题是上海到北京怎么来回的?我说可以做火车,也可以做飞机。火车十个小时,飞机两个小时。又问我是不是家里的独生子女?我这时候心里就三个字了,查户口。于是说我还有两个 cousins,一个弟弟,一个姐姐。

随后问题几个和英语有关的问题,我说我小学的时候就开始学英语,到现在学了十三年了,但在大学以前始终对英语没有什么兴趣,因为都是 compulsory 的课程。到了大二的时候,我开始看美剧,看小说,顺便列了几个美剧,和几本书名,于是就开始喜爱英文了。说到小说的时候,引起了教授的共鸣,对方说她也很喜欢看小说的。我顺水推舟,说自己喜欢文学,除了英语小说外,还喜欢看中国和日本的小说。

唯一和我申请有关的问题是我为什么选择卡内基梅隆大学,我就把准备的一段给读上去了。当然故意比较缓慢地读,但根据老爸的说法,他都听出来,我读的那段比较流利。我悲催的口语啊,不过无所谓,我觉得聊的内容好玩就行了。问题问完了,她反问我有没有问题,还好我有所准备,我就问了关于到那边兴趣变了要不要紧?她说了一大堆,谈了自己当年从 Cornell 到 CMU 还不知道是从 CMU 到 Cornell 的学 PDE 的经历,还说给你打电话说明你还不错,到了之后换兴趣并不影响现在的申请什么的,请我放心。总之,她说了一大堆,我也不知道怎么接话,只能在她说完的时候,补上一句 Thank you for your advice.

但她可能发现了基本都是她在说这件事情,于是让我再问她一个问题,但学术方面实在没有什么想问的了。突然想起今天早晨看手机报说美国三十个州暴风雪,于是问问她家的情况,她说她这边没事,弟弟那边倒是下了大雪。于是终于抓住机会问我中国这边的天气,我说了北京今年很冷,但没下雪,去年倒是五月飘雪。她又问上海天气如何,我脑残说 wet,她说 humid,我连忙说对对,是 humid,大囧。但我很喜欢上海的天气。她说她没去过上海,不过她能猜测这边的感觉。我问她有没有来过中国?她说没有。我说你有空可以来看看,这边变化很快的。她说怎么变化快了。我突然也说不出个所以然来,什么山清水秀也不是变化快,况且我也说不好,只能说现在这边交通很便捷,想去哪去哪。总之说的内容翻成中文自己都觉得傻逼,只能将就将就,糊弄过去。

后来教授突然说她觉得上海人比中国其他地方的人英语说得好,问我为什么?我很想说上海人聪明呗,但这样太嚣张了。而且自己英语可能已经为上海人丢脸了,所以说上海人可能比较方便接触到英语的素材,一些跨国公司也在上海设立办事处,上海外国人多。但说完后觉得这都不是理由啊。于是补了一句,对我来说,接触英语还是通过互联网,而且我喜欢收集明信片,通过一个叫 Postcrossing 的和别人交换明信片,上面我们都是用英文交流的。

基本内容就到这里结束了,最后说了句 Good night!就和她再见拜拜了。

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芳华

写在新年来临之前

在春节来到以前把在北京十二中的课都结了。乘上回上海的飞机,由于虹桥机场空中交通管制,原本的航班提前了两个小时起飞,机票的代理商没有通知到我们。于是东航把我们换到比预定晚一个小时的海南航空的航班,上飞机之后,又因为同样的原因在机场逗留了一会,飞到近济南上空,还在空中转圈圈。

到达上海已经接近十一点,坐上二号线,车厢内回荡着乘务员的声音:“此班列车为末班车后加开的列车,只停靠五个大站,每站均不提供换乘服务……”,两个绝望的外国人听不懂普通话,苦苦等待英语翻译未果之后,向我问路。

在人民广场下车后,扬手招来一辆出租车,进车后,听着女声的引导语,起步价十六元,单价三点一元。一路瞥了几眼计价器蹦蹦跳跳的样子。

车开到家,发现两张交通卡的钱加起来不足支付车费,身边的钱在机场都存入了银行卡,手机又没有电了。实在窘迫,只能问出租车司机借手机让母亲下来付款。拖着疲惫的身体回到家。
一回到家,便发现静静躺在桌上的来自朋友的书信和明信片,过了一会,母亲迅速端上的热气腾腾的肉汤圆以及春卷。物质上的东西超越它们自身的存在,挑动我的神经。

新年要在鞭炮声中许愿,一定会有你们,在我最困难的时候,陪伴我的人。

过去的事就让它过去吧,朝前看哈!

附:在加拿大的表弟,没有你的年夜饭确实很寂寞哈!一定会发照片馋死你的,放心啦~