井田问题

Matrix67 致敬,我也来写点科普文章。

假期给初一、初二小孩讲几何课的时候,都提到了下面的命题:四边形 ABCD中, E,F依次是边 BC上的两个三等分点, G,H依次是边 AD上两个三等分点,求证 S_{ABCD}=3S_{EFHG}

三分田地

这道题目立即让我联想起了张景中院士的一本科普书,上课的时候我记不得这本书的名字了,后来回去搜索了一下,叫《新概念几何》。我的爸妈一般不给我买书(可能是因为买过两套四大名著我都不看的关系吧),记忆中他们还给我买过的书只有《十万个为什么(小学版)》和《新概念几何》了。

在《新概念几何》中提到过一个问题,叫做井田问题:传说从前的农民要分地的话,没有很精准的丈量工具,也不懂几何或是微积分,所以都采取一些近似的方法。有一天,村里的九户人家发现了一块四边形的田地,他们打算平分这块田。于是他们通过脚步丈量四条边后,将四边都三等分后,如下图将田分为了九块。

井田问题

很明显,这块田地没有被九等分。但会不会像之前的“三分田地”问题一样,有类似的结论呢?很自然的一个猜测是最中间的土地面积是总面积的九分之一。其数学表述如下:四边形 ABCD中, E,F依次是边 BC上的两个三等分点, G,H依次是边 AD上两个三等分点, I,J依次是边 AB上的两个三等分点, K,L依次是边 DC上两个三等分点,求证 S_{ABCD}=9S_{MNOP}

由于整个问题犹如在一块田中写一个井字,井田问题由此得来。

记得当时上课的时候,由于是即兴想到这个问题,双核同时运转,只顾着把故事编得生动一些,没腾出脑子去想解答,所以留下这个问题让小朋友自己回家思考了……

实际上,建立在之前的三分田地的结论上,这个问题是很容易解决的:

由之前的结论,红色四边形 IJLK的面积是整个面积的三分之一。假设我们能再证明 M,P N,O分别是 IK, JL的三等分点,那再次利用三分田地的结论,我们就能证明红黑相交的部分 MPNO的面积是红色四边形 IJLK的三分之一,也就是原四边形的九分之一了。

最后我们证明 M,P N,O确实分别是 IK, JL的三等分点,为此我们只证明 M IK的三等分点。

为了能看得更清楚,我们考虑与需要证明的结论有关的部分。

辅助图

由定比分点公式,我们有关于面积的等式:

S_{GKE} = \frac{2}{3}S_{GDE}+\frac{1}{3}S_{GCE}=2\left(\frac{2}{3}S_{GAE}+\frac{1}{3}S_{GBE}\right)=2S_{GIE}.

于是 KM = 2IM,就证明了需要的结论。

通过类似的论证,读者还能将井田问题中的三等分替换为五等分、七等分甚至任意 2n+1等分。进行类似的面积划分后,最中间那块的面积便是 (2n+1)^2分之一了。

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