对于一个三角形$T$，一定可以找到一个椭圆$E$，满足，$E\subseteq T\subseteq 2E$。对于一个平行四边形$P$，一定可以找到一个椭圆$E^*$，满足，$E^*\subseteq P\subseteq \sqrt{2}E^*$。由于在仿射变换下三角形，平行四边形，椭圆，线段比例都保持，所以只需要对正三角形和正方形进行证明就可以了。

实际上，John 定理断言，每一个$n$维凸体$K$都有一个相应的椭球E满足，$E\subseteq K\subseteq nE$。对每一个中心对称凸体$C$，都有一个相应的椭球$E^*$满足，$E^*\subseteq C\subseteq \sqrt{n}E^*$。

为了证明 John 定理，我们需要引入 John 椭球的概念，为此需要证明 John-Loewner 椭球定理：对于任意一个$n$维空间中的含有内点的紧子集，存在唯一的椭球包含K，使得椭球体积达到最小，此时，称该椭球为 John 椭球。

证明（概要）：利用椭球与$n$阶正定对称阵的联系，考虑所有包含 K 的椭球的中心和其对应的正定对称阵构成空间$C_K$，证明$\det$函数在$C_K$上取到最大值，存在性得证。如果$\det$在$C_K$中有两个极大值点，可以通过这两个极大值点构造$C_K$中的元素，使得$\det$在该元素上的取值更大（这里需要利用$\ln \det$在$C_K$上的凹性），由此导出矛盾，唯一性得证。

作为应用，我们考虑所有的$GL_n(\mathbb{R})$的紧子群$G$，令$K=\cup_{g\in G}{g(B^n)}$，其中$B^n$是单位球，此时$K$含有内点。于是$K$是在任意$G$中元素作用下稳定，如果$E$是$K$的 John 椭球，那么$E$在任意$G$中作用下也稳定（这是因为$G$的紧致性保证了其任意元素$g$的行列式为$1$，于是$g(E)$明显包含$K$，且体积与$E$相等，由 John 椭球的唯一性知$E$的稳定性），由此可知存在$v\in GL_n(\mathbb{R})$，使得对任意$g\in G$，有，$v^{-1}gv(B^n)=B^n$，故$v^{-1}Gv\subseteq SO_n(\mathbb{R})$，也就是说在相差一个共轭的程度上，正交群是极大的紧子群。