Author: Zilin

Here is a short list of mathematical abbreviations which troubled me the first time I graded students’ papers. You should be familiar with these words if you have used English as your first language in mathematics for years. But for students who has no experience of writing maths in English, this list might help. Abbreviation… Continue reading Mathematical Abbreviations

On Maths Presentation Workshop at Carnegie Mellon University, Professor Brandon was trying to to help us understand the undergrad in United States and improve our teaching skills. This was my first time knowing how to say maths terms in English. And I want to share with you some of the tips. Before I start, I… Continue reading How to say maths terms in English?

对于一个三角形，一定可以找到一个椭圆，满足，。对于一个平行四边形，一定可以找到一个椭圆，满足，。由于在仿射变换下三角形，平行四边形，椭圆，线段比例都保持，所以只需要对正三角形和正方形进行证明就可以了。 实际上，John 定理断言，每一个维凸体都有一个相应的椭球E满足，。对每一个中心对称凸体，都有一个相应的椭球满足，。 为了证明 John 定理，我们需要引入 John 椭球的概念，为此需要证明 John-Loewner 椭球定理：对于任意一个维空间中的含有内点的紧子集，存在唯一的椭球包含K，使得椭球体积达到最小，此时，称该椭球为 John 椭球。 证明（概要）：利用椭球与阶正定对称阵的联系，考虑所有包含 K 的椭球的中心和其对应的正定对称阵构成空间，证明函数在上取到最大值，存在性得证。如果在中有两个极大值点，可以通过这两个极大值点构造中的元素，使得在该元素上的取值更大（这里需要利用在上的凹性），由此导出矛盾，唯一性得证。 作为应用，我们考虑所有的的紧子群，令，其中是单位球，此时含有内点。于是是在任意中元素作用下稳定，如果是的 John 椭球，那么在任意中作用下也稳定（这是因为的紧致性保证了其任意元素的行列式为，于是明显包含，且体积与相等，由 John 椭球的唯一性知的稳定性），由此可知存在，使得对任意，有，，故，也就是说在相差一个共轭的程度上，正交群是极大的紧子群。