John 椭球

对于一个三角形T，一定可以找到一个椭圆E，满足，E\subseteq T\subseteq 2E。对于一个平行四边形P，一定可以找到一个椭圆E^*，满足，E^*\subseteq P\subseteq \sqrt{2}E^*。由于在仿射变换下三角形，平行四边形，椭圆，线段比例都保持，所以只需要对正三角形和正方形进行证明就可以了。

实际上，John 定理断言，每一个n维凸体K都有一个相应的椭球E满足，E\subseteq K\subseteq nE。对每一个中心对称凸体C，都有一个相应的椭球E^*满足，E^*\subseteq C\subseteq \sqrt{n}E^*。

为了证明 John 定理，我们需要引入 John 椭球的概念，为此需要证明 John-Loewner 椭球定理：对于任意一个n维空间中的含有内点的紧子集，存在唯一的椭球包含K，使得椭球体积达到最小，此时，称该椭球为 John 椭球。

证明（概要）：利用椭球与n阶正定对称阵的联系，考虑所有包含 K 的椭球的中心和其对应的正定对称阵构成空间C_K，证明\det函数在C_K上取到最大值，存在性得证。如果\det在C_K中有两个极大值点，可以通过这两个极大值点构造C_K中的元素，使得\det在该元素上的取值更大（这里需要利用\ln \det在C_K上的凹性），由此导出矛盾，唯一性得证。

作为应用，我们考虑所有的GL_n(\mathbb{R})的紧子群G，令K=\cup_{g\in G}{g(B^n)}，其中B^n是单位球，此时K含有内点。于是K是在任意G中元素作用下稳定，如果E是K的 John 椭球，那么E在任意G中作用下也稳定（这是因为G的紧致性保证了其任意元素g的行列式为1，于是g(E)明显包含K，且体积与E相等，由 John 椭球的唯一性知E的稳定性），由此可知存在v\in GL_n(\mathbb{R})，使得对任意g\in G，有，v^{-1}gv(B^n)=B^n，故v^{-1}Gv\subseteq SO_n(\mathbb{R})，也就是说在相差一个共轭的程度上，正交群是极大的紧子群。