John 椭球

对于一个三角形T,一定可以找到一个椭圆E,满足,E\subseteq T\subseteq 2E。对于一个平行四边形P,一定可以找到一个椭圆E^*,满足,E^*\subseteq P\subseteq \sqrt{2}E^*。由于在仿射变换下三角形,平行四边形,椭圆,线段比例都保持,所以只需要对正三角形和正方形进行证明就可以了。

实际上,John 定理断言,每一个n维凸体K都有一个相应的椭球E满足,E\subseteq K\subseteq nE。对每一个中心对称凸体C,都有一个相应的椭球E^*满足,E^*\subseteq C\subseteq \sqrt{n}E^*

为了证明 John 定理,我们需要引入 John 椭球的概念,为此需要证明 John-Loewner 椭球定理:对于任意一个n维空间中的含有内点的紧子集,存在唯一的椭球包含K,使得椭球体积达到最小,此时,称该椭球为 John 椭球。

证明(概要):利用椭球与n阶正定对称阵的联系,考虑所有包含 K 的椭球的中心和其对应的正定对称阵构成空间C_K,证明\det函数在C_K上取到最大值,存在性得证。如果\detC_K中有两个极大值点,可以通过这两个极大值点构造C_K中的元素,使得\det在该元素上的取值更大(这里需要利用\ln \detC_K上的凹性),由此导出矛盾,唯一性得证。

作为应用,我们考虑所有的GL_n(\mathbb{R})的紧子群G,令K=\cup_{g\in G}{g(B^n)},其中B^n是单位球,此时K含有内点。于是K是在任意G中元素作用下稳定,如果EK的 John 椭球,那么E在任意G中作用下也稳定(这是因为G的紧致性保证了其任意元素g的行列式为1,于是g(E)明显包含K,且体积与E相等,由 John 椭球的唯一性知E的稳定性),由此可知存在v\in GL_n(\mathbb{R}),使得对任意g\in G,有,v^{-1}gv(B^n)=B^n,故v^{-1}Gv\subseteq SO_n(\mathbb{R}),也就是说在相差一个共轭的程度上,正交群是极大的紧子群。

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