昨天收到卡内基梅隆大学的电话面试邮件，说要和我约个时间，于是上 Time Zones 看他们家的时区是负五时区，于是减去十三个小时就得到了匹兹堡的时间。把可能有空的时间都发过去，虽然也列上了一些非人性化的时间，例如那边凌晨三点之类的，但还是觉得老老实实说自己有空的时间比较好。 结果那边的教授马上回信说，美国东部时间晚上 10 点给我打电话，也就是今天早晨十一点。之前各种朋友都献计献策，谢谢你们。今天早晨十点开始准备各种问题的回答。都打在电脑上面了。 美国人很守时，刚到十一点，家里的电话就响起来了。对方是用 Skype 打的，和以前接到 Skype 的情况差不多，有轻微的回音，听英语比较吃力，不过还好，对方说得比较慢。刚准备开始，第一个问题就出乎意料，居然问我住哪里？不过这样反而让我放松下来了，于是我说我住上海。第二个问题是在上海住得如何？我说上学在北京，每年回来两次看看父母什么的，所以在上海的时间并不多。第三个问题是上海到北京怎么来回的？我说可以做火车，也可以做飞机。火车十个小时，飞机两个小时。又问我是不是家里的独生子女？我这时候心里就三个字了，查户口。于是说我还有两个 cousins，一个弟弟，一个姐姐。 随后问题几个和英语有关的问题，我说我小学的时候就开始学英语，到现在学了十三年了，但在大学以前始终对英语没有什么兴趣，因为都是 compulsory 的课程。到了大二的时候，我开始看美剧，看小说，顺便列了几个美剧，和几本书名，于是就开始喜爱英文了。说到小说的时候，引起了教授的共鸣，对方说她也很喜欢看小说的。我顺水推舟，说自己喜欢文学，除了英语小说外，还喜欢看中国和日本的小说。 唯一和我申请有关的问题是我为什么选择卡内基梅隆大学，我就把准备的一段给读上去了。当然故意比较缓慢地读，但根据老爸的说法，他都听出来，我读的那段比较流利。我悲催的口语啊，不过无所谓，我觉得聊的内容好玩就行了。问题问完了，她反问我有没有问题，还好我有所准备，我就问了关于到那边兴趣变了要不要紧？她说了一大堆，谈了自己当年从 Cornell 到 CMU 还不知道是从 CMU 到 Cornell 的学 PDE 的经历，还说给你打电话说明你还不错，到了之后换兴趣并不影响现在的申请什么的，请我放心。总之，她说了一大堆，我也不知道怎么接话，只能在她说完的时候，补上一句 Thank you for your advice. 但她可能发现了基本都是她在说这件事情，于是让我再问她一个问题，但学术方面实在没有什么想问的了。突然想起今天早晨看手机报说美国三十个州暴风雪，于是问问她家的情况，她说她这边没事，弟弟那边倒是下了大雪。于是终于抓住机会问我中国这边的天气，我说了北京今年很冷，但没下雪，去年倒是五月飘雪。她又问上海天气如何，我脑残说 wet，她说 humid，我连忙说对对，是 humid，大囧。但我很喜欢上海的天气。她说她没去过上海，不过她能猜测这边的感觉。我问她有没有来过中国？她说没有。我说你有空可以来看看，这边变化很快的。她说怎么变化快了。我突然也说不出个所以然来，什么山清水秀也不是变化快，况且我也说不好，只能说现在这边交通很便捷，想去哪去哪。总之说的内容翻成中文自己都觉得傻逼，只能将就将就，糊弄过去。 后来教授突然说她觉得上海人比中国其他地方的人英语说得好，问我为什么？我很想说上海人聪明呗，但这样太嚣张了。而且自己英语可能已经为上海人丢脸了，所以说上海人可能比较方便接触到英语的素材，一些跨国公司也在上海设立办事处，上海外国人多。但说完后觉得这都不是理由啊。于是补了一句，对我来说，接触英语还是通过互联网，而且我喜欢收集明信片，通过一个叫 Postcrossing 的和别人交换明信片，上面我们都是用英文交流的。 基本内容就到这里结束了，最后说了句 Good night！就和她再见拜拜了。
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数学之路——对话恽之玮学长
恽之玮学长是北京大学数学科学学院 00 级的学生，后去 Princeton 读研，2009 年至 2010 年期间在高等研究所（Institute of Advanced Study）工作，目前在 MIT 就职，主要工作方向为几何表示论（Geometric Representation Theory）。 王志宇：学长是什么时候开始下决心做纯数学？ 恽之玮：是在高中和大学之间，参加完竞赛之后。我有一段时间不想做纯数学，也可能是题做多了有点厌烦，想念计算机或者其他的。后来碰到南大的一个老师，她跟我说纯数学还是很有意思的，越念下去越有意思。我进大学后就一直觉得纯数学很有趣，后来就没有动摇过。 王志宇：你们那届做纯数学的有多少人？ 恽之玮：现在还在做的大概有十个人或者更多。从之前和之后的比较来说这都是一个 local 的最大值，整体的不能说。 姜子麟：现在是否诱惑比较多，容易半途转行？ 恽之玮：你说是应用方面，嗯，这个一直有很多人，数学学院毕业的做这些的是大多数人。做金融，统计啊等等。我个人对这些不太感兴趣。 姜子麟：学长当年如果转向了计算机，现在的轨迹会是什么样的？ 恽之玮：我高中时候喜欢的那种计算机其实就是编程序，像现在的环境，清华有姚班，我也有可能去上。你们也知道那些竞赛题，有些组合跟计算机题挺像的，当时做的有点腻了，如果以我当时的状态，可能就不会选择进一步研究类似组合的问题。我觉得数学的好处在于，可能解问题时，最后还是要用一些组合的办法，但问题的方面更加广，像几何的数论的。同样的想法，可以有不同的包装。表面完全不同的问题，最后的想法又是相通的。 盛开：学长刚接触到大学课程的时候，对那些课程的感受是怎么样的？ 恽之玮：上大学之前，我买了一本拓扑的教材。当时看不懂，但我觉得他讲得很清楚。大一寒假里，我再翻一翻，越看越有意思，拓扑是吸引我的一个方面。还有一个就是 Galois 理论，当时老师也没有时间教，主要是自己看的。像 Galois 理论，它证明五次方程没有根式解，中学里就听过，但一直不知道是怎么证的。我一直对它挺感兴趣。我对群的概念比较感兴趣，这两个都涉及到群的概念。对我比较影响比较大的几门课，高峡老师当时给我们讲了“模形式”，这门课非常适合本科生，是一门很综合的学科。现在不用着急，今后肯定要学一学。它把拓扑，复变还有群论这些东西都综合在一起，学了之后你会发现，前面的东西你可能都没学懂，真正用的时候不会操作。 王志宇：学长在低年级的时候就学这些高级课程？ 恽之玮：我是在大三时候学的模形式。我听说你们现在越学越早，有些同学二年级就开始学代数几何。我前面两年对拓扑和微分几何感兴趣，后面才转向代数几何。我当时还参加讨论班，郑志明老师讲动力系统。高峡老师的讨论班不限定题目，可以读一个东西或者自己想点问题。当时陈维桓开了个研究生课程，是黎曼几何，我也去听了这个课。那个讲的更一般一些，相比本科的微分几何来说。其实研究生课程也不见得比本科的难多少，如果你把数学分析和代数学的比较好的话。 恽之玮：抽象代数其实应该早点学。依照我们的传统，比我更早学数学的人当中，学几何还有分析的比较多，学代数、数论、表示论这些都相对比较少一些。这可能就是因为我们代数学的时间比较靠后，而且讲的东西也不是很多。你们现在有抽代二，抽代二其实是研究生的课。如果把抽象代数一、二这两门都上下来，肯定比我们当时学得多。至少Galois理论，作为一个本科生，作为一个数学系的本科生，你一定得知道是怎么回事。相当于是数学在前一个世纪，也就是十九世纪最大的突破吧。学数学肯定得知道这个。 姜子麟：有时候会觉得学习代数有点枯燥，这方面学长怎么看？ 恽之玮：你们学抽象代数是吧。我当时学群的时候也觉得很抽象，证明的那些关于群的定理，都是很抽象也很一般的，那些论述对所有群都是成立的。其实学群不应该这么学，应该学个别的具体的群。而且不要光学群，要学习群在空间中的作用。群作用的概念现在是有的，但是你对于每一个群都要想一想它作用在什么上面。如果你凭空造出来一个群，不作用在任何东西上面，它是没有意义的。比如说学习 Galois 理论你就知道了，这个群作用在这个域上。如果群不作用在任何东西上，就没有存在的意义。 王志宇：学长能举一些更具体的例子吗？ 恽之玮：以前那个杨磊老师——现在不知道还开不开课，我们受他影响挺大的——他当时叫我们念 Klein 的《二十面体与五次方程》。那本书是二十世纪初翻译的，语言跟现在的有些不一样。但是它的内容都是很具体的、可以动手算的，我们当时做了个二十面体模型来看这里的对称群。它还可以被用来解某些五次方程；或者换句话说，五次方程不能用根式解，但是可以用椭圆函数解。相当于当时的数学基本上都能归纳到这本书里了。当时数学其实已经很丰富了，当时的比如模型式的理论，虽然不算很系统，但是模型式里的特殊函数、矩阵、线性变换群，还有 Riemann 曲面、常微分方程——你可以将里面的东西翻译成 Riemann 曲面的语言。这样书如果认真看的话可以学到很多东西。一般书讲的很抽象，上来看两页就不想看。但这本书不用当任务看，你可以当消遣看。能当消遣看的数学书不多。 恽之玮：我在 Princeton 的导师叫 MacPherson，是个拓扑学家，也做代数几何和表示论，但他拿手的是拓扑。当然他现在在考虑一些应用数学问题，也很有意思。我没有跟他学过这些东西，但是完全是纯数学里的想法，相当于开创了拓扑的一个新的方向。他告诉我，一定要注重例子。比如说找几个曲线、曲面作为例子来算；定理成立与否的条件，这个条件是否必要也，可以举个例子。这一方面帮助你理解一般性的定理：有些时候通过分析一个例子你可以就知道一般性的问题该怎么做了；另一方面在今后做研究的时候，很多研究中的问题都来源于例子，而不是抽象的理论。最终的研究成品可能是一个推广了的、发展了的理论，是一套抽象的东西，但其实研究者的出发点肯定不是这样的。有一个具体的问题或具体的例子，原来的工具不够用了，从而迫使他来发现、来改进别人的结果，于是新发展了一套工具，而不是为了发展这个而发展。一定要以例子为中心。也有个别不看例子的，像 Grothendieck，他是代数几何的一代宗师。这种人毕竟是少数，他的逻辑思维的能力太强了，很少能有人能达到这个程度。其他的数学家，虽然写的有些东西很抽象，但他的想法，如果你跟他交谈或者是了解他私下里怎么思考，其实都是例子。 姜子麟：那怎么能挑选一个比较好的问题作为自己的入手？ 恽之玮：其实我这方面也不算成功，我刚开始做本科生科研，跟着姜伯驹老师和王诗宬老师，最后什么都没有写出来，我也是不好意思的。其实本科生科研里有很多很具体的东西，上手并不难，是可以操作操作的。但是我自己没有找到什么比较好的问题。 王志宇：您当时是跟那两位老师做什么方面的？ 恽之玮：姜伯驹老师让我读一些关于辫群的东西。那是很有意思的东西，我现在还很感兴趣，和纽结理论有一些关系，里面又有一些代数的操作，你可以具体地去算。但是我最后也没做出什么东西来。王诗宬老师当时开了一门课叫几何群论，几何群论的主要观点就是把每一个群都看成空间的基本群，换句话说就是把群作用在一个拓扑空间上。把每一个用几何的观点来看，然后推导出一些纯粹关于群的一些性质，也就是代数的性质。但是用几何的观点去看，你就看得自然一些。这个也是很有意思的一个学问，但是我的主要的经历还是放在学上面了。其实本科生搞科研可能还是早了点，当时我也没有找到什么合适的问题。… Continue reading 数学之路——对话恽之玮学长